Een Apollinische pakking is een soort fractal-afbeelding die is gevormd uit een verzameling steeds kleiner wordende cirkels binnen een enkele grote cirkel. Elke cirkel in de Apollinische pakking raakt de aangrenzende cirkels - met andere woorden, de cirkels in de Apollinische pakking maken contact op oneindig kleine punten. Dit type fractal, genoemd naar de Griekse wiskundige Apollonius van Perga, kan (met de hand of met de computer) tot een redelijke mate van complexiteit worden getekend, waardoor een mooi, opvallend beeld ontstaat. Zie stap 1 hieronder om aan de slag te gaan.
Stappen
Deel 1 van 2: Begrijp de belangrijkste concepten
Voor alle duidelijkheid, als je gewoon geïnteresseerd bent in het tekenen van een Apollinische pakking, is het niet essentieel om de wiskundige principes achter de fractal te onderzoeken. Als u echter een beter begrip van Apollonian Gaskets wilt, is het belangrijk om de definities van verschillende concepten te begrijpen die we zullen gebruiken bij de bespreking ervan.
Stap 1. Definieer de belangrijkste termen
In de onderstaande instructies worden de volgende termen gebruikt:
- Apollinische pakking: een van de verschillende namen voor een type fractal dat is samengesteld uit een reeks cirkels die in één grote cirkel zijn genest en die alle andere in de buurt raken. Deze worden ook wel "Soddy Circles" of "Kissing Circles" genoemd.
- Straal van een cirkel: de afstand van het middelpunt van een cirkel tot de rand. Meestal toegewezen aan de variabele r.
- Kromming van een cirkel: De positieve of negatieve inverse van de straal, of ±1/r. Kromming is positief als het gaat om de buitenste kromming van de cirkel en negatief voor de binnenste kromming.
- Raaklijn: Een term die wordt toegepast op lijnen, vlakken en vormen die elkaar snijden op een oneindig klein punt. In Apollonian Gaskets verwijst dit naar het feit dat elke cirkel elke nabijgelegen cirkel op slechts één punt raakt. Merk op dat er geen snijpunt is - raaklijnen overlappen elkaar niet.
Stap 2. Begrijp de stelling van Descartes
De stelling van Descartes is een formule die nuttig is voor het berekenen van de afmetingen van de cirkels in een Apollinische pakking. Als we de krommingen (1/r) van elke drie cirkels definiëren als respectievelijk a, b en c, stelt de stelling dat de kromming van de cirkel (of cirkels) die alle drie raakt, wat we zullen definiëren als d, is: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
Voor onze doeleinden zullen we over het algemeen alleen het antwoord gebruiken dat we krijgen door een plusteken voor de vierkantswortel te plaatsen (met andere woorden, … + 2 (sqrt(…)). Voor nu is het voldoende om te weten dat de aftrekking vorm van de vergelijking heeft zijn toepassingen in andere gerelateerde taken
Deel 2 van 2: De Apollinische pakking construeren
Apollinische pakkingen hebben de vorm van prachtige fractale arrangementen van krimpende cirkels. Wiskundig gezien hebben Apollonian Gaskets een oneindige complexiteit, maar of je nu een computertekenprogramma of traditionele tekentools gebruikt, je zult uiteindelijk een punt bereiken waarop het onmogelijk is om cirkels kleiner te tekenen. Merk op dat hoe nauwkeuriger u uw cirkels tekent, hoe meer u in uw pakking kunt passen.
Stap 1. Verzamel uw digitale of analoge tekengereedschappen
In de onderstaande stappen maken we onze eigen eenvoudige Apollonian Gasket. Het is mogelijk om Apollonian Gaskets met de hand of op de computer te tekenen. In beide gevallen wil je perfect ronde cirkels kunnen tekenen. Dit is redelijk belangrijk. Omdat elke cirkel in een Apollinische pakking perfect raakt aan de cirkels ernaast, kunnen cirkels die zelfs een beetje misvormd zijn, uw eindproduct "weggooien".
- Als je de pakking op een computer tekent, heb je een programma nodig waarmee je eenvoudig cirkels met een vaste straal vanuit een centraal punt kunt tekenen. Gfig, een vectortekenuitbreiding voor het gratis beeldbewerkingsprogramma GIMP, kan worden gebruikt, net als een groot aantal andere tekenprogramma's (zie het materiaalgedeelte voor relevante links). U hebt waarschijnlijk ook een rekenmachine nodig en een tekstverwerkerdocument of een fysiek notitieblok om aantekeningen te maken over krommingen en radii.
- Om de pakking met de hand te tekenen, heb je een rekenmachine nodig (wetenschappelijk of grafisch gesuggereerd), een potlood, kompas, liniaal (bij voorkeur een schaal met millimetermarkeringen, ruitjespapier en een notitieblok om aantekeningen te maken.
Stap 2. Begin met één grote cirkel
Je eerste taak is eenvoudig - teken gewoon een grote, perfect ronde cirkel. Hoe groter de cirkel is, hoe complexer uw pakking kan zijn, dus probeer een cirkel te maken die zo groot is als uw papier toelaat of zo groot als u gemakkelijk kunt zien in één venster in uw tekenprogramma.
Stap 3. Maak een kleinere cirkel in het origineel, rakend aan één kant
Teken vervolgens nog een cirkel binnen de eerste die kleiner is dan het origineel, maar nog steeds vrij groot. De exacte grootte van de tweede cirkel is aan jou - er is geen juiste maat. Laten we voor onze doeleinden echter onze tweede cirkel zo tekenen dat deze precies halverwege onze grote buitenste cirkel komt. Met andere woorden, laten we onze tweede cirkel zo tekenen dat het middelpunt het middelpunt is van de straal van de grote cirkel.
Onthoud dat in Apollonian Gaskets alle cirkels die elkaar raken, elkaar raken. Als je een kompas gebruikt om je cirkels met de hand te tekenen, creëer je dit effect door de scherpe punt van het kompas in het midden van de straal van de grote buitenste cirkel te plaatsen, je potlood zo aan te passen dat het net de rand van de grote cirkel raakt, teken vervolgens je kleinere binnenste cirkel
Stap 4. Teken een identieke cirkel "tegenover" de kleinere binnencirkel
Laten we vervolgens nog een cirkel tekenen tegenover onze eerste. Deze cirkel moet raken aan zowel de grote buitenste cirkel als de kleinere binnenste cirkel, wat betekent dat je twee binnenste cirkels elkaar precies in het midden van de grote buitenste cirkel zullen raken.
Stap 5. Pas de stelling van Descartes toe om de grootte van je volgende cirkels te vinden
Laten we even stoppen met tekenen. Nu we drie cirkels in onze pakking hebben, kunnen we de stelling van Descartes gebruiken om de straal te vinden van de volgende cirkel die we gaan tekenen. Onthoud dat de stelling van Descartes is d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), waarbij a, b en c de krommingen zijn van je drie raakcirkels en d de kromming van de cirkel die alle drie raakt. Dus, om de straal van onze volgende cirkel te vinden, laten we de kromming vinden van elk van de cirkels die we tot nu toe hebben, zodat we de kromming van de volgende cirkel kunnen vinden, en dit dan omrekenen naar zijn straal.
-
Laten we de straal van onze buitenste cirkel definiëren als
Stap 1.. Omdat de andere cirkels zich binnen deze cirkel bevinden, hebben we te maken met de inwendige kromming (in plaats van de uitwendige kromming), en als gevolg daarvan weten we dat de kromming negatief is. - 1/r = -1/1 = -1. De kromming van de grote cirkel is - 1.
-
De stralen van de kleinere cirkels zijn half zo groot als die van de grote cirkel, oftewel 1/2. Aangezien deze cirkels elkaar raken en de grote cirkel met hun buitenrand, hebben we te maken met hun uitwendige kromming, dus hun krommingen zijn positief. 1/(1/2) = 2. De krommingen van de kleinere cirkels zijn beide
Stap 2..
-
Nu weten we dat a = -1, b = 2 en c = 2 voor de vergelijking van de stelling van Descartes. Laten we oplossen voor d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. De kromming van onze volgende cirkel is
Stap 3.. Aangezien 3 = 1/r, is de straal van onze volgende cirkel 1/3.
Stap 6. Maak je volgende set cirkels
Gebruik de straalwaarde die u zojuist hebt gevonden om uw volgende twee cirkels te tekenen. Onthoud dat deze de cirkels raken waarvan je de krommingen hebt gebruikt voor a, b en c in de stelling van Descartes. Met andere woorden, ze raken zowel aan de oorspronkelijke als aan de tweede cirkel. Om ervoor te zorgen dat deze cirkels alle drie de cirkels raken, moet je ze tekenen in de open ruimtes aan de boven- en onderkant van het gebied binnen je grote originele cirkel.
Onthoud dat de stralen van deze cirkels gelijk zullen zijn aan 1/3. Meet 1/3 terug vanaf de rand van de buitenste cirkel en teken vervolgens uw nieuwe cirkel. Het moet raken aan alle drie de omringende cirkels
Stap 7. Ga op deze manier verder om door te gaan met het toevoegen van kringen
Omdat het fractals zijn, zijn Apollonian Gaskets oneindig complex. Zo kun je naar hartelust steeds kleinere cirkels toevoegen. U bent alleen beperkt door de precisie van uw gereedschappen (of, als u een computer gebruikt, het vermogen van uw tekenprogramma om in te zoomen). Elke cirkel, hoe klein ook, moet raken aan drie andere cirkels. Om elke volgende cirkel in je Pakking te tekenen, plug je de krommingen van de drie cirkels die het zal raken in de stelling van Descartes. Gebruik vervolgens uw antwoord (dat de straal van uw nieuwe cirkel zal zijn) om uw nieuwe cirkel nauwkeurig te tekenen.
- Merk op dat de pakking die we hebben gekozen om te tekenen symmetrisch is, dus de straal van één cirkel is hetzelfde als de corresponderende cirkel "er tegenover". Weet echter dat niet elke Apollinische pakking symmetrisch is.
-
Laten we nog een voorbeeld behandelen. Laten we zeggen dat we, na het tekenen van onze laatste set cirkels, nu de cirkels willen tekenen die raken aan onze derde set, onze tweede set en onze grote buitenste cirkel. De krommingen van deze cirkels zijn respectievelijk 3, 2 en -1. Laten we deze getallen aansluiten op de stelling van Descartes, door a = -1, b = 2 en c = 3 in te stellen:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. We hebben twee antwoorden! Omdat we echter weten dat onze nieuwe cirkel kleiner zal zijn dan alle cirkels waaraan hij raakt, is alleen een kromming van
Stap 6. (en dus een straal van 1/6) klinkt logisch.
- Ons andere antwoord, 2, verwijst eigenlijk naar de hypothetische cirkel aan de andere kant van het raakpunt van onze tweede en derde cirkels. Deze cirkel is rakend aan beide cirkels en aan de grote buitenste cirkel, maar het zou de cirkels snijden die we al hebben getekend, dus we kunnen het negeren.
Stap 8. Probeer voor een uitdaging een niet-symmetrische Apollonian Gasket te maken door de grootte van je tweede cirkel te veranderen
Alle Apollinische pakkingen beginnen hetzelfde - met een grote buitencirkel die fungeert als de rand van de fractal. Er is echter geen reden waarom je tweede cirkel noodzakelijkerwijs de helft van de straal van de eerste moet hebben - we hebben ervoor gekozen om dit hierboven te doen omdat het eenvoudig en gemakkelijk te begrijpen is. Probeer voor de lol een nieuwe pakking te beginnen met een tweede cirkel van een andere grootte - dit zal leiden tot spannende nieuwe ontdekkingswegen.
